Question

已知函数 f(x)=lnx，g(x)= 1 2 a x 2 +bx (a≠0).

Answer 1

（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x ²-bx，且在（0，+∞）上是增函数，

∵ h′(x)=

1

x +2x-b

∴

1

x +2x-b≥0 即 b≤

1

x +2x 对x∈（0，+∞）恒成立，

∵x＞0，有

1

x +2x≥2

2 . ∴ b的取值范围为(-∞，2

2 ]. （7分）

（Ⅱ）设t=e ^x，则函数化为φ（x）=F（t）=t ²+bt，t∈[1，2]．∵ F(t)=(t+

b

2 ) 2 -

b 2

4 .

∴当 -

b

2 ≤1 即 -2≤b≤2

2 时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）] _min=F（1）=b+1；

当 1＜-

b

2 ＜2 即-4＜b＜-2时， [φ(x) ] min =F(-

b

2 )=-

b 2

4 ；

当 -

b

2 ≥2 即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）] _min=F（2）=2b+4；

∴ [φ(x) ] min =

b+1x∈[-2，2

2 ]

-

b 2

4 x∈(-4，-2)

2b+4x∈(-∞，-4] （14分）