（1）过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=
，OC=AC=1，
即B（
）；
（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，
∴△APO≌△AQB总成立，
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°；
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，
∴AO与BQ不平行，
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，
又OB=OA=2，可求得BQ=
，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=
，
∴此时P的坐标为（-
，0）；
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°，
又AB= 2，可求得BQ=2
，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2
，
∴此时P的坐标为（2
，0），
综上所述，P的坐标为（-
，0）或（2
，0）。