Question

如果A=1/2（B+E),证明A的平方=A的充分必要条件是B的平方=E

Answer 1

如果A、B、E是矩阵的话

必要性：A=1/2 (B+E) => A平方=1/2 A(B+E)=1/2AB+1/2A；

因为A平方=A,故有A=1/2AB+1/2A,所以1/2A=1/2AB => B=E => B平方=E.

充分性：A=1/2 (B+E) => B=2A-E；

B平方=E => (2A-E)平方=4A平方-4A+E平方=E.

又E平方=E,所以4A平方-4A=0,故A平方=A.