证明：
由题设条件可知：
函数f(x)在区间[a+ε,b-ε]内连续可导,( a＜a+ε＜b-ε＜b,ε＞0)
∴由中值定理可知：存在实数ξ∈[a+ε,b-ε]
满足：f(b-ε)-f(a+ε)=f'(ξ)×[b-a-2ε]
令ε---->0.由题设可知：
f'(ξ)(b-a-2ε)=0
∴f'(ξ)=0
【【【【还可以这样证明】】】】
由题设：lim(x--->a+)f(x)=lim(x-->b﹣)f(x).
可以规定：f(a)=f(b)=lim(x-->a+)f(x)=lim(x-->b-)f(x)
∴此时,函数f(x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导.
∴由中值定理可知,存在实数ξ∈(a,b).
满足：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
∴f'(ξ)=0