解题思路：（1）由A类函数的定义只证xg'（x）＞g（x）即可，通过作差可证；
（2）由题意可得xh'（x）＞h（x）恒成立，分离参数a后转化为求函数的最值即可，利用导数可求最值；
（3）令F（x）=
f(x)
x
，由条件可证F（x）递增，由单调性可得F（x1+x2）＞F（x1），F（x1+x2）＞F（x2），分别表示出f（x1），f（x2），相加可得结论；
（1）∵g'（x）=2x，
∴xg'（x）-g（x）=2x2-（x2-1）=x2+1＞0在（0，+∞）上恒成立，即xg'（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）=x2-1是A型函数．
（2）h′（x）=a-[1/x]+[1−a
x2（x＞0），
由xh'（x）＞h（x），
得ax-1+
1−a/x]＞ax-3-lnx-[1−a/x]，
∵x＞0，∴可化为2（a-1）＜2x+xlnx，
令p（x）=2x+xlnx，p'（x）=3+lnx，
令p'（x）=0，得x=e-3，
当x∈（0，e-3）时，p'（x）＜0，p（x）是减函数；
当x∈（e-3，+∞）时，p'（x）＞0，p（x）是增函数，
∴p（x）min=p（e-3）=-e-3，
∴2（a-1）＜-e-3，a＜1-[1/2]e-3．
（3）证明：函数f（x）是（0，+∞）上的每一点处都有导数，且xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立，
设F（x）=
f(x)
x，F′（x）=
xf′(x)−f(x)
x2＞0在（0，+∞）时恒成立，
∴函数F（x）=
f(x)
x在（0，+∞）上是增函数，
∵x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞x1＞0，x1+x2＞x2＞0，
∴F（x1+x2）＞F（x1），F（x1+x2）＞F（x2），即
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x1)
x1，
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x2)
x2，
∴f（x1）＜
x1f(x1+x2)
x1+x2，f（x2）＜
x2f(x1+x2)
x1+x2，
两式相加，得f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查学生的阅读理解能力及分析解决问题的能力．