Question

设A为n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明AB为反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA

Answer 1

证明：若AB为反对称矩阵,则（AB）T=-AB=（-1）AB,

已知A为n阶对称矩阵,则A=AT,B是n阶反对称矩阵,则BT=-B,

而根据转置矩阵的重要性质（AB）T=BTAT=-BA=（-1）BA,（T均为上标）,

（-1）AB=（-1）BA,

∴AB=BA,

反过来,若AB=BA,则根据转置矩阵的重要性质,（AB）T=BTAT,（T为上标）

已知A为n阶对称矩阵,则A=AT,B是n阶反对称矩阵,则BT=-B,代入上式,

（AB）T=-BA=-AB,

∴AB是反对称矩阵,