Question

如图,正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形,P是EF和GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形

Answer 1

设AG=a,BG=b,AE=x,ED=y

则a+b=x+y ①

2ax=by ②

由①得：a-x =y-b

两边平方得a2-2ax+x2=b2-2by+y2

把②代入得a2-2ax+x2=y2-4ax+b2

即(a+x)2=b2+y2,a+x= (√b)2+y2.

又∵b2+y2=CH2+CF2=FH2

∴a+x=FH

即DH+BF=FH

延长CB到M,使BM=DH,连结AM

∵Rt△ABM≌Rt△ADH

∴AM=AH,∠MAB=∠HAD

则∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°

可证△AMF≌△AHF

则∠MAF=∠HAF

即∠HAF=1/2∠MAF=45°