Question

数列{an}的前n项和为Sn＝2n+q，bn＝lgan，已知{bn}为等差数列．

Answer 1

解题思路：（1）由

S

n

＝

2

n

+q，

b

n

＝lg

a

n

，知n=1时，b₁=lga₁=lg（2+q），n≥2时，b_n=lga_n=（n-1）lg2，由{b_n}为等差数列，能求出q=1．

（2）由

a

n

＝

2

n−1

，知b_n=lga_n=（n-1）lg2，故

T

n

＝1×0+2×lg2+…+

2

n−1

×(n−1)lg2

，由此利用错位相减法能够求出数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

（1）∵数列{a_n}的前n项和为Sn＝2n+q，bn＝lgan，{b_n}为等差数列，

∴n=1时，a₁=S₁=2+q，

n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝2n−1，

∴n=1时，b₁=lga₁=lg（2+q），

n≥2时，b_n=lga_n=（n-1）lg2，

要使{b_n}为等差数列，

则b₁=lga₁=lg（2+q）=0，

∴q=1．

（2）∵an＝2n−1，

∴b_n=lga_n=（n-1）lg2，

∴Tn＝1×0+2×lg2+…+2n−1×(n−1)lg2，①

∴2Tn＝22•lg2+23•2lg2+…+2n•(n−1)lg2，②

①-②，得-T_n=2lg2+2²lg2+2³lg2+…+2^n-1lg2-2ⁿ•（n-1）lg2

=lg2×[

2(1−2n−1)

1−2−2n(n−1)]

=-lg2（n•2ⁿ-2^n-1+2），

∴Tn＝(n•2n−2n+1+2)•lg2．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查实数q的求法，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．