因为 |(z-i)^2|=|z-i|^2,所以只要求 |z-i| 的最值.
有两种方法.比较简单的是直接看几何意义.
因为|z|=1,所以z点代表的就是复平面上以原点为圆心的单位圆.于是问题转化为求单位圆上一点与i点距离的最值.由于i就是单位圆的上顶点,所以容易看出最大值为2,最小值为0,对应地|(z-i)^2|的最大值是4,最小值是0.
比较严格一点的可以这样.因为
|z-i|^2
=(z-i)*(z-i)的共轭
=(z-i)*(z的共轭+i) (展开)
=z*z的共轭+i(z-z的共轭)+1
=|z|^2+i*2(Imz*i)+1
=2-2Imz
其中Imz代表z的虚部.
因为|z|=1,所以 -1