求复合函数的导数是教学的难点,不仅要将一个复合函数正确地分解成基本初等函数的复合,还要综合应用导数公式和导数运算法则对这些经多次复合而成的函数求导.
关键词
函数 复合函数 导数 逐层求导 循序渐进
求复合函数的导数是《高等数学》中“导数与微分”一章的重点与难点.说其是重点,是因为多数初等函数都是由基本初等函数复合而成的,如果不掌握复合函数的求导法则,就无法解决初等函数的求导问题.再则,求隐函数的导数,求幂函数的导数,求反函数的导数以及求参数方程所确定的函数的导数,都要应用复合函数的求导法则.另外,积分中的第一类换元积分方法是反过来应用复合函数求导法则的一种重要的积分方法.所以复合函数求导法,既是求函数导数的核心内容,也是学习后续课程求函数积分的必要基础.
求复合函数的导数又是教学的难点.难就难在不仅要将一个复合函数正确地分解成基本初等函数的复合,还要综合应用导数公式和导数运算法则对这些经多次复合而成的函数求导.
突破复合函数求导这一教学的重点和难点,要从以下几方面入手：
一、复习初等数学时,将“复合函数”做为重点内容.
在高等数学开始复习“基本初等函数”和“初等函数”时,对“复合函数”的定义,复合函数的分解,复合函数的复合过程要加强讲解,并要大量的进行复合函数分解和复合的练习.
例如：
1、将函数y表示成x的复合函数：
⑴,
⑵,
⑴ ,即
⑵ ,即
这类练习能起到理解定义、消化概念的作用,并能为复合函数的分解积累一些感性认识.
2、指出函数的复合过程：
⑴ 是由
这三个函数复合成的；
⑵是由
两个函数复合成的；
⑶是由
这三个函数复合而成；
⑷是由
两个函数复合而成.
练习时要先讲清分解原则和分解顺序,使学生明确分解的目标和途径.其分解原则：分解成基本初等函数或基本初等函数与常数的和、差、积、商,必须保证每次分解的函数在形式上与基本初等函数相同.分解顺序：要“由外向里,逐层分解”,即从函数表达式最后一次运算开始往前逐层分解.同时要让学生明确,按照分解原则和顺序,同一复合函数的分解形式基本是一致的.
学生初练习时,易出现将
分解成,或分解成
一类的错误.这类错误主要是由于对基本初等函数的形式不理解,从而把握不住分解原则造成的.针对这种情况要强调,将复合函数分解成的基本初等函数必须在形式上与基本初等函数一致,即自变量必须是独立的,不参与任何运算.
二、依据复合函数求导法则,弄清对谁求导.
复合函数的求导法则：如果函数 在点x处可导,函数y＝f（u）在对应点 可导,则复合函数 在点x可导,且 也可写成或
.复合函数的求导法则又称为连锁法则,它可以推广到多个函数复合的情形.特别强调地是是对u求导,是对x求导.由法则可知,求复合函数的导数,必须进行两次或两次以上求导,而每次对什么求导均不同,故每次求导时必须先搞清对谁求导的问题.
例如：
⑴已知 求.可分解为
,因此,
其中u,v是中间变量.
⑵已知 ,求 .
分解成y＝f（u）,因此
其中是对u即对求导；是对v即对cosx求导,是对x求导.
三、复合函数直接求导时,重点掌握“逐层求导”的方法.
复合函数直接求导的方法可用口诀“由外向里,逐层求导”来概括.“由里向外”是求导顺序,此顺序与复合函数分解顺序一致,所以重点要使学生理解并掌握“逐层求导”的含义和方法.采用对比的方式讲解效果较好.
例如：已知求
解法一：引入中间变量求导
由,复合而成
∴
解法二：直接求导
两者相比较,可使学生较容易地理解直接求导的实质仍然是应用复合函数的求导法则.由于省略了引入中间变量和回代的步骤,所以解法较为简单.以上两种解法的区别在于,前者是先引入中间变量分解,然后三次求导同时进行.后者是由外向里,边分解边求导,三次求导分作三层进行,每层只求一个式子（相当于一个中间变量）的导数.此为“逐层求导”.直接求导时一要注意求导次数与分解层数一致,避免发生“丢层”的错误；二是在书写格式上,每步只能出现一次求导运算符号.如上例不能错误地写成.
四、练习过程要循序渐进.
掌握并熟练复合函数求导运算,必须做一定量的练习.练习过程一定循序渐进.先练习求两次复合成的函数的导数,再逐步练习多次复合成的函数的导数；先引入中间变量求导,熟练后再直接求导.直接求导时必须由易渐难.