Question

已知,α,β(α>β)是一元二次方程x^2-x-1=0的两个实数根,设S1=α+β,S2=α^2+β^2,……Sn=α^

Answer 1

由于Sn=α^n+β^n=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ^(n-1)+β^n

=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+αβα^(n-2)+β^n

=α(α^(n-1)+β^(n-1))-αβ(β^(n-2)+α^(n-2))+β(α^(n-1)+β^(n-1))

=(α+β)S(n-1)-αβS(n-2).

(（1+根号5）/2)与(（1-根号5）/2）是方程x^2-x-1=0的两个根,

所以上式中α+β=1,αβ=-1,所以Sn=S(n-1)+S(n-2).

而S1=1,S2=3,因此S3=4,S4=7,S5=11,S6=18,S7=29,S8=47.

所以(（1+根号5）/2)^8+(（1-根号5）/2)8=47.