Question

已知函数f（x）的定义域是（负无穷,0）并（0,正无穷）,对定义域内的任意x1,x2,都有f（x1x2）=f（x1）+f

Answer 1

证明：令x1=x2=1

代入 f(x1x2)=f(x1)+f(x2) (*)

得到 f(1)=f(1)+f(1)

所以f(1)=0

取x≠0,在（*）中令x1=1/x,x2=x,则

0 = f(1)=f[(1/x)·x]=f(1/x)+f(x)

∴ f(1/x)=-f(x)

下面证明f(x)是偶函数：

显然定义域关于原点对称.以D代表定义域.

任取x∈D,要证明 f(-x)=f(x)

在(*)式中令x1=x2=-1,则

0=f(1)= f[-1·(-1)]=f(-1)+f(-1)

∴ f(-1)=0

当 x=0 时,当然有f(-x)=f(0)=f(x)

任取x≠0,在(*)中令x1=-x,x2=1/x,则

f(-x·1/x)=f(-x)+f(1/x)

即 0=f(-1)=f(-x)-f(x)

∴ f(-x)=f(x)

∴ f(x)是偶函数.