Question

如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角,已知EG=k,

Answer 1

引理：sinθ=2Skl

证明：S=S△EFG+S△EHG,

=S△EOF+S△GOF+S△EOH+S△GOH,

=12 EO•OF•sinθ+12GO•OF•sin(180°-θ)

+12EO•OH•sin(180°-θ)+12 GO•OH•sinθ

=12EG•OF•sinθ+12EG•OH•sinθ

=12EG•FH•sinθ=12kl•sinθ

所以sinθ=2Skl

过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线,得矩形PQRT．

设正方形ABCD的边长为a,PQ=b,QR=c,

则b=根号（k2 -a2）,c=根号（l2 -a2）,

由S△AEH=S△TEH,S△BEF=S△PEF,S△GFC=S△QFG,S△DGH=S△RGH

得SABCD+SPQRT=2S,

∴a2+bc=2S,即a2+根号（k2-a2）•根号（l2-a2 ） =2S,

∴（k2+l2-4S）a2=k2l2-4S2,

由引理知kl=2Ssinθ＞2S,

所以k2+l2≥2kl＞4S,

故SABCD=a2=(k2l2-4S2)(k2+l2-4S)