Question

已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为[1/4]，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线

Answer 1

解题思路：先由抛物线的定义p的意义可求出a，根据C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称可设出直线AB的方程，把直线AB的方程与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系即可得出直线AB的方程，再根据线段AB关于直线y=x+m对称性即可求出m的值．

∵抛物线C：y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为[1/4]，

∴[1/2a＝

1

4]，解得a=2．

∴抛物线C的方程为：y=2x²（a＞0）．

∵抛物线C上的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称，

∴可设直线AB的方程为y=-x+t．

联立

y＝−x+t

y＝2x2，消去y得2x²+x-t=0，

∵直线AB与抛物线相较于不同两点，∴△=1+4t＞0．

据根与系数的关系得，x1+x2＝−

1

2，x1x2＝−

t

2，由已知x1x2＝−

1

2，∴t=1．

于是直线AB的方程为y=-x+1，

设线段AB的中点为M（x_M，y_M），则xM＝

x1+x2

2=−

1

4，

∴y_M=−(−

1

4)+1=[5/4]．

把M(−

1

4，

5

4)代入直线y=x+m得[5/4＝−

1

4+m，解得m=

3

2]．

故答案为[3/2]．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 熟练掌握抛物线的定义p的意义、直线（或线段）关于直线的对称性、中点坐标公式是解题的关键．