解题思路：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；
（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；
（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；
（4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解．
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，-1），B（3，-1）代入得，
a+b＝−1
9a+3b＝−1，
解得
a＝
1
3
b＝−
4
3，
∴抛物线解析式为y=[1/3]x2-[4/3]x，
∵y=[1/3]x2-[4/3]x=[1/3]（x-2）2-[4/3]，
∴顶点M的坐标为（2，-[4/3]）；
（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0），
∵A（1，-1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是[1/2]OP=[1/2]×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，-t）；
（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，
∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，-2t），（3t，-t），
若顶点O在抛物线上，则[1/3]×（2t）2-[4/3]×（2t）=-2t，
解得t=[1/2]（t=0舍去），
∴t=
点评：
本题考点： 二次函数综合题；三角形的面积；等腰直角三角形．
考点点评： 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）随着运动时间的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观．