完整分析：
He,主语
stops谓语,停下来,可跟to do 和doing.to do指的是停下来之后做某事,相当于目的状语.
跟doing是动名词做宾语,表示停下做某事.
to talk to everyone he meets就是前面说的作目的状语,表示他停下来去跟他遇到的每个人谈话.
第一个to是引导目的状语,第二个to是介词,后面跟talk的说话对象.he meets这里是个定语从句,省略了一个that或者whom,who.原句应该是he stops to talk to everyone that（who,whom）he meets.定语从句里面先行词作宾语可以省略代词,所以这里everone做的he meets的宾语,省略了代词that,who或者whom.
不知是否详尽,