Question

（1）求证：函数f（x）=x3-3x对于区间[-1，1]上任意两个自变量x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4；

Answer 1

解题思路：（1）将问题转化为研究函数在区间[-1，1]上的单调性求最值的问题．

（2）利用导数的几何意义以及导数的应用建立条件关系即可，要注意对点是否在曲线上进行讨论．

（1）∵f（x）=x³-3x，

∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），

当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，

故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，

f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2

∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，

都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|

即|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4成立．

（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，

设切点为（x₀，y₀）

则y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．

则切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀），

将A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．

∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线

∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，

记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）、

令g'（x）=0，x=0或1、

则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）

g'（x） + 0 - 0 +

g（x） 递增 极大 递减 极小 递增当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2．

由题意有，当且仅当

g(0)＞0

g(1)＜0，即

m+3＞0

m+2＜0，

解得-3＜m＜-2时，

函数g（x）有三个不同零点、

此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．

故m的范围是（-3，-2）．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．综合性较强，运算量较大．