Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，数列{b n }的前n项和为T n ，{b n }为等差数列且各项均为正数，

Answer 1

（1）a ₂=2S ₁+1=3=3a ₁，

当n≥2时，a _n+1-a _n=（2S _n+1）-（2S _n-1+1）=2a _n，（3分）

∴a _n+1=3a _n，即

a n+1

a n =3 ，

∴数列{a _n}是首项a ₁=1，公比为3的等比数列，（4分）

从而得： a n = 3 n-1 ；（6分）

（2）设数列{b _n}的公差为d（d＞0），

∵T ₃=15，∴b ₂=5，

依题意a ₁+b ₁，a ₂+b ₂，a ₃+b ₃成等比数列，

则有 ( a 2 + b 2 ) 2 =( a 1 + b 1 )( a 3 + b 3 ) ，

又a ₂=3，b ₁=b ₂+d=5-d，b ₃=b ₂+d=5+d，

∴64=（5-d+1）（5+d+9），

解得：d=2或d=-10（舍去），（8分）

∵b ₁=5-d=5-2=3，

∴ T n =3n+

n(n-1)

2 ×2= n 2 +2n ，（10分）

∵

1

T n =

1

2 （

1

n -

1

n+2 ），

则

1

T 1 +

1

T 2 +…+

1

T n

=

1

2 [(

1

1 +

1

2 +…+

1

n )-(

1

3 +

1

4 +…+

1

n+2 )]

=

1

2 [(

1

1 +

1

2 )-(

1

n+1 +

1

n+2 )]=

3

4 -

2n+3

2(n+1)(n+2) ．（13分）