Question

过抛物线Y2=2PX的焦点F的直线与抛物线相交A,B两点,自A,B向准线作垂线,垂足为A',B',求证角A'FB'=90

Answer 1

证明：

设A,B的纵坐标为y1,y2,因为A,B向准线作垂线,得到A',B'

则A',B'的坐标分别为（-p/2,y1),（-p/2,y2)

设该直线的方程为x-p/2=ky,k为斜率的倒数

代入原方程得：y^2=2p(ky+p/2)

整理得：y^2-2pky-p^2=0

由韦达定理得:y1y2=-p^2

向量A'F=（p,-y1）,向量B’F=（p,-y2）

向量A'F·向量B’F=p^2+y1y2

因为y1y2=-p^2

所以向量A'F·向量B’F=p^2-p^2=0

所以向量A'F垂直于向量B’F,所以角A'FB'=90度

(y^2为y平方)