解题思路：本题中函数是一个抽象函数，由于给出了它是奇函数与在区间上单调两个条件故可以利用奇函数的性质将f（a+1）+f（a-3）＜0变为f（a+1）＜f（3-a），再利用单调性将抽象不等式变为一次不等式，实数a的取值范围易求．
∵函数f（x）是定义在[-4，4]上奇函数，且在[-4，4]单调增．若f（a+1）+f（a-3）＜0，
∴f（a+1）＜f（3-a），
∴
a+1＜3−a
−4＜a+1＜4
−4＜3−a＜4，解得-1＜a＜2
答：实数a的取值范围是-1＜a＜2
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题考点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，本题的解题步骤一般是先利用函数的奇偶性将不等式变为f（a+1）＜f（3-a），再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式．