解题思路：（Ⅰ）利用Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*），n分别取2，3代入，结合
a
1
＝
1
2
，可求a2与a3的值；
（II）由 an=Sn-Sn-1（n≥2），结合条件可得 [n+1/n
S
n
−
n
n−1
S
n−1
=1，结论得证．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
n+1
n
S
n
＝1+(n−1)•1＝n
，
S
n
＝
n
2
n+1]，根据Sn=n2an-n（n-1），可得
n
2
n+1
=n2an-n（n-1），从而有
n
a
n
＝(n+1)−
1
n+1
−1
，利用 2n=（1+1）n=1+n+…+Cnn≥1+n，得[1/n+1
≥
1
2
n
]，从而有
n
a
n
＝(n+1)−
1
n+1
−1≤
2
n
−
1
2
n
−1
，故a1+2a2+3a3+…+nan≤
(2−
1
2
−1)
+(2
2
−
1
2
2
−1)
+…
+(2
n
−
1
2
n
−1)
，利用分组求和即可得结论．
（Ⅰ）∵Sn=n2an-n（n-1）（n∈N*），
∴S2=4a2-2=a1+a2，S3=9a3-6=a1+a2+a3，
∵a1＝
1
2，
∴a2＝
5
6，a3＝
11
12．
（Ⅱ）证明：由 an=Sn-Sn-1（n≥2），及 Sn=n2an-n（n-1）得
Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），即 （n2-1 ）Sn-n2Sn-1=n（n-1），
∴[n+1/nSn−
n
n−1Sn−1=1，
∵a1＝
1
2]，∴n＝1时，
n+1
nSn＝1
∴{ [n+1/nSn}是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
n+1
nSn＝1+(n−1)•1＝n，
∴Sn＝
n2
n+1]，
又已知Sn=n2an-n（n-1），
∴
n2
n+1=n2an-n（n-1），
∴nan＝
n
n+1+n−1＝(n+1)−
1
n+1−1．
∵2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+…+Cnn≥1+n，
∴[1/n+1≥
1
2n]，
∴−
1
n+1≤−
1
2n，
∴nan＝(n+1)−
1
n+1−1≤2n−
1
2n−1
∴a1+2a2+3a3+…+nan≤(2−
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性；等比数列的前n项和；等差关系的确定；二项式系数的性质．
考点点评： 本题以数列递推式为载体，考查数列递推式的运用，考查等差数列的定义，考查放缩法，解题的关键是合理运用数列递推式．
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