（1）证明：∵△ABC与△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACD=60°，
∴∠BAP+∠CAP=60°，
又∵∠CAQ+∠CAP=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵在△ABP和△ACQ中，
∠BAP=∠CAQ
AB=AC
∠B=∠ACD ，
∴△ABP≌△ACQ（ASA），
∴AP=AQ，
又∵∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形；
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴△ABP的面积=△ACQ的面积，
∴四边形APCQ的面积=△APC的面积+△ACQ的面积，
=△APC的面积+△ABP的面积，
=△ABC的面积，
=
1
2 ×2×（2×
3
2 ）=
3 ；
（3）AP⊥BC时，AP最短，S △APQ最小，
此时，BP=
1
2 BC=
1
2 ×2=1．