Question

正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．

Answer 1

延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，

∵正方形ABCD，NM⊥AQ，

∴∠AMN=∠ABC=90°，

∴A B N M四点共圆，

∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，

∴∠ANM=∠NAM=45°，

∴MA=MN，∴①正确；

∵正方形ABCD，

∴∠ABN=∠ADF=90°，AD=AB，

在△ABN和△ADF中

∵

AD=AB

∠ABN=∠ADF

BN=DF ，

∴△ABN≌△ADF，

∴∠FAD=∠BAN，AF=AN，

∵∠NAM=∠BAC=45°，

∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ，

在△NAQ和△FAQ中

∵

AF=BN

∠FAQ=∠NAQ

AQ=AQ ，

∴△NAQ≌△FAQ，

∴∠AQN=∠AQD，∴②正确；

在△ADQ和△AHQ中

∵

∠AQD=∠AQN

∠ADQ=∠AHQ=90°

AQ=AQ ，

∴△ADQ≌△AHQ，

∴S _△ADQ=S _△AQH，

∴S _△NAQ=S _△FAQ=S _△FAD+S _△ADQ=

1

2 S _{五边形ABNQD}，

∴③正确；

∵AH=AD=AB，AH⊥NQ，

∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，

∴④正确．

故选A．