Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AA1=AB=BC=AC=a，点E是棱AB的中点．

Answer 1

解题思路：（1）连接AC₁交A₁C于点F，连接EF，由E是AB中点，F是AC₁中点，知EF∥BC₁，由此能够证明BC₁∥平面A₁CE．

（2）过E作EG⊥AC于G，由AA₁⊥平面ABC，知AA₁⊥EG，由EG⊥AC，知EG⊥平面AA₁CC₁，由此能求出三棱锥E-A₁CC₁的体积．

（1）连接AC₁交A₁C于点F，连接EF，

∵E是AB中点，F是AC₁中点，∴EF∥BC₁，

又∵EF⊂平面A₁CE，BC₁⊄平面A₁CE，

∴BC₁∥平面A₁CE．…（6分）

（2）过E作EG⊥AC于G，

∵AA₁⊥平面ABC，EG⊂平面ABC，

∴AA₁⊥EG，

∵EG⊥AC，AC∩AA₁=A，∴EG⊥平面AA₁CC₁，

在等边△ABC中，E是AB中点，EG⊥AC，AB=a，

∴EG=

3

4a．

∵VE−A1CC1＝

1

3S△A1CC1•EG＝

1

3×

1

2×A1C1×CC1×EG＝

3

24a3，

∴三棱锥E-A₁CC₁的体积为

3

24a3．…（12分）

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题．