Question

正三棱锥对棱垂直,证明

Answer 1

设正三棱锥P-ABC,

△ABC为正△,作PO⊥平面ABC,连结AO,交BC于D,连结PD,

∵PA=PB=PC,

∴OA=OB=OC,

∴P点在平面ABC的射影O是正△ABC的外心,

∴AD⊥BC,（等腰△三线合一）,

D是BC中点,

∴PD是△PBC中线,

∵PB=PC,

∴PD⊥BC,（等腰△三线合一）

∵PD∩AD=D,

∴BC⊥平面PAD,

∵PA∈平面PAD,

∴BC⊥PA,

同理可证PB⊥AC,PC⊥AB.

也可用三垂线定理直接证明.