Question

已知有两个数列{a n }，{b n }，它们的前n项和分别记为S n ，T n ，且数列{a n }是各项均为正数的等

Answer 1

（本小题满分14分）

（Ⅰ）设等比数列{a _n}的公比为q，∵a _n＞0，∴q＞0

若q=1时S _m=ma ₁S _2m=2ma ₁，此时2S _m=S _2m，而已知S _m=26，S _2m=728，∴2S _m≠S _2m，∴q=1不成立…（1分）

若q≠1，由

S m =26

S m =728 得

a 1 (1- q m )

1-q =26(1)

a 1 (1- q 2m )

1-q =728(2) …（2分）

（1）÷（2）得：1+q ^m=28∴q ^m=27…（3分）

∵q ^m=27＞1∴q＞1

∴前m项中a _m最大∴a _m=18…（4分）

由 a 1 q m-1 =18 得，

a 1 q m-1

q m =

18

27 ∴

a 1

q =

2

3 (3) 即 a 1 =

2

3 q

把 a 1 =

2

3 q 及q ^m=27代入（1）式得

2

3 q(1-27)

1-q =26

解得q=3

把q=3代入 a 1 =

2

3 q 得a ₁=2，所以 a n =2× 3 n-1 …（7分）

由 T n =2 n 2

（1）当n=1时 b ₁=T ₁=2

（2）当 n≥2时 b n = T n - T n-1 =2 n 2 -2(n-1 ) 2 =2 n 2 -2( n 2 -2n+1) =4n-2

∵b ₁=2适合上式∴b _n=4n-2…（9分）

（Ⅱ）由（1）得 c n =(4n-2)•2× 3 n-1 =4(2n-1)× 3 n-1

记 d n =(2n-1)× 3 n-1 ，d _n的前n项和为Q _n，显然P _n=4Q _nQ n = d 1 + d 2 + d 3 +…+ d n =1× 3 0 +3× 3 1 +5× 3 2 +…+(2n-1)× 3 n-1 …①∴ 3 Q n = d 1 + d 2 + d 3 +…+ d n =1× 3 1 +3× 3 2 +5× 3 3 +…+(2n-1)× 3 n …..②

…（11分）

①-②得：-2Q _n=1+2×3 ¹+2×3 ²+2×3 ³+…2×3 ^n-1-（2n-1）×3 ⁿ

= 1+2×

3(1- 3 n-1 )

1-3 -(2n-1)× 3 n =-2-（2n-2）×3 ⁿ…（13分）

∴ 4 Q n =4(n-1)× 3 n +4 ，

即 P n =4(n-1)× 3 n +4 …（14分）