Question

已知函数f（x）=lnx+[1/x]-1．

Answer 1

解题思路：（1）由函数f（x）=lnx+[1/x]-1确定函数的定义域并求导，从而求函数f（x）的单调区间；

（2）先由（1）求得0≤f（x₀）≤[1/e]，从而将对任意的a∈（-1，1），总存在x₀∈[1，e]，使得不等式ma-f（x₀）＜0成立化为对任意的a∈（-1，1），ma＜[1/e]恒成立，从而求实数m的取值范围；

（3）由na_n+1²-（n+1）a_n²-a_n+1a_n=0可求得a_n=n，从而化不等式e^（n-1）α≥a_n对任意的n≥2且n∈N^*都成立为e^（n-1）α≥n对任意的n≥2且n∈N^*都成立，注意到当n=2时，e^α≥2，则α≥ln2＞[1/2]；则在α≥ln2＞[1/2]下讨论即可，

故可判断f（x）=（x-1）α-lnx在[2，+∞）上是增函数，从而可求α的取值范围．

（1）∵f（x）=lnx+[1/x]-1的定义域为（0，+∞），

且f′（x）=[1/x]-[1

x2=

x−1

x2，

故函数f（x）的单调减区间为（0，1），单调增区间为（1，+∞）；

（2）∵函数f（x）在[1，e]上单调递增，

∴0≤f（x₀）≤

1/e]，

∴对任意的a∈（-1，1），总存在x₀∈[1，e]，使得不等式ma-f（x₀）＜0成立可化为

对任意的a∈（-1，1），ma＜[1/e]恒成立，

故

−m≤

1

e

m≤

1

e，

解得，-[1/e]≤m≤[1/e]；

（3）∵na_n+1²-（n+1）a_n²-a_n+1a_n=0，

∴[na_n+1-（n+1）a_n][a_n+1+a_n]=0，

又∵{a_n}是首项为1的正项数列，

∴na_n+1-（n+1）a_n=0，

∴

an+1

an=[n+1/n]，又∵首项为1，

∴a_n=n，

则不等式e^（n-1）α≥a_n对任意的n≥2且n∈N^*都成立可化为e^（n-1）α≥n对任意的n≥2且n∈N^*都成立；

则当n=2时，e^α≥2，则α≥ln2＞[1/2]；

e^（n-1）α≥n对任意的n≥2且n∈N^*都成立可化为（n-1）α-lnn≥0对任意的n≥2且n∈N^*都成立；

令f（x）=（x-1）α-lnx，则f′（x）=α-[1/x]，

则当x∈[2，+∞）时，f′（x）=α-[1/x]＞0，

f（x）=（x-1）α-lnx在[2，+∞）上是增函数，

故（n-1）α-lnn≥0对任意的n≥2且n∈N^*都成立可化为α-ln2≥0，

故α≥ln2．

综上所述，α≥ln2．

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了导数的应用及数列的通项求法，同时考查了恒成立问题及存在性问题的处理，属于难题．