Question

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1=C1E=BC=[1/2]AB=1．

Answer 1

解题思路：①连接DC₁，欲证D₁E∥平面ACB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D₁E与平面平面ACB₁内一直线平行，而D₁E∥AB₁，AB₁⊂平面ACB₁，D₁E⊄平面ACB₁，满足定理条件；

②连接AD₁、DA₁，欲证平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁内一直线与平面A₁B₁CD垂直，而根据题意可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁⊂平面AD₁EB₁，满足定理条件．

①连接DC₁，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且CC₁=C₁E，

所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四边形，DC₁∥D₁E．

又因为AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四边形，DC₁∥AB₁，

所以D₁E∥AB₁．

因为AB₁⊂平面ACB₁，D₁E⊄平面ACB₁，

所以D₁E∥平面ACB₁．

②连接AD₁、DA₁，则平面DCB₁即平面A₁B₁CD，由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．

因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，CD⊥平面ADD₁A₁，

所以CD⊥AD₁．矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，

所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，

所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁⊂平面AD₁EB₁，

所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评： 从中可以体会以下几点，一是依据判定定理整体思考、形成思路；二是通过图形变换，包括割、补、视图和射影等，建立试题各要素之间；三是将不规则图形向自己熟悉的规则图形（特别是长方形）转化，将基本空间图形原有的性质与试题条件有机结合，将试题要素“直接（直观）”地联系起来或凸显出来，使问题求解自然而然．