Question

如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，

Answer 1

解题思路：根据等腰三角形三线合一的特点可知：CD垂直平分AB，因此不难得出∠ACB=2∠ACD、∠AEB=2∠AED、∠AFB=2∠AFD，因此本题证∠AFD+∠AEF+∠ACE=90°即可．根据2CD=3AB，且CD=3BF，可知BF=2AD；因此△AFD是等腰三角形，可得出∠AFD=45°，且AF²=2DF=EF•FC，由此可得出△AEF∽△CFA．那么∠CAF=∠AEF，由此即可得出∠AFD+∠AEF+∠ACE=90°，进而可得出本题所求的结论．

证明：∵2CD=3AB，

∴[1/3CD＝

1

2AB，

∵E，F为CD三等分点，D为AB中点，

∴AD=DF；

∴∠AFD=45°，

∴由勾股定理得：AF²=AD²+DF²=2DF²
∵2DF²=EF（EF+CE）=FE•FC；

∴AF²=FE•FC，

∴

AF

EF]=[FC/AF]，

∵∠AFE=∠CFA，

∴△AEF∽△CFA，

∴∠CAF=∠AEF；

即∠ACD+∠AED=∠AFD=45°；

∴∠ACD+∠AED+∠AFD=90°，

∴∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．

考点点评： 本题主要运用了三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，得到AD=DF是解决本题的关键．