Question

f(x1)=f(x2)=0, M=max‖f"(x)‖,证明 x1≤x≤x2 ‖f"(x)‖≤（x2-x1)2m/8 ,

Answer 1

|f|的最大值在区间内部a达到（若在边界达到,则f是零函数,当然结论成立）,不妨设a位于(x1,(x1+x2)/2],做Taylor展式：f(x1)=f(a)+f'(a)(x1-a)+0.5f''(c)(x1-a)^2,注意到a是极值点,因此f'(a)=0,于是|f(a)|=|0.5f''(c)(x1-a)^2|