Question

已知园的方程为X2+Y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a≠1,且a∈R (1)求证a取不为1的实数值时,上述园横

Answer 1

1）取a=0,2,得x^2+y^2-4y+2=0,(1)

x^2+y^2-4x+2=0,(2)

(1)-(2),4x-4y=0,y=x,(3)

代入（1）/2,x^2-2x+1=0,x=1,

代入（3）,y=1.

检验知,上述圆恒过定点（1,1）.

（2）配方得[x-a]^2+[y-(2-a)]^2=2a^2-4a+2.

圆心坐标：x=a,y=2-a,

∴圆心的轨迹方程是y=2-x.

(3)设切线方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,

|ka-(2-a)-k+1|/√（k^2+1)=|a-1|√2,

|（a-1)(k+1)|=|a-1|√[2(k^2+1)],a≠1,

∴|k+1|=√[2(k^2+1)],

平方,化简得k^2-2k+1=0,k=1.

∴所求切线方程是x-y=0.