Question

（2014•广州一模）如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满

Answer 1

解题思路：（1）连结B₁D₁，BD，由已知条件推导出A₁C₁⊥DD₁，从而得到A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．由此能证明EF⊥A₁C₁．

（2）以点D为坐标原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当C₁G=

1

6

a

时，A，E，G，F四点共面．

（3）利用已知条件求出平面AEF的法向量和平面ABCD的一个法向量，由此能求出平面AEF与平面PQ所成二面角的余弦值．

（1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．

∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁⊂平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．

∵EF⊂平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．

（2）以点D为坐标原点，

以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立如图的空间直角坐标系，

则A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E(0，0，

1

2a)，F(a，a，

1

3a)，

∴

A1C1＝(−a，a，0)，

EF＝(a，a，−

1

6a)．

设G（0，a，h），

∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，

平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，

∴存在实数λ，使得

FG＝λ

AE．

∵

AE＝(−a，0，

1

2a)，

FG＝(−a，0，h−

1

3a)，

∴

点评：

本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与平面之间的位置关系．

考点点评： 本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力