Question

已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 +c（a，b，c∈R，a≠0）．

Answer 1

（1）把点P（-1，0）代入y=f（x）得-a+b+c=0，又c=0，故a=b

由f’（x）=3ax ²+2ax=ax（3x+2）=0得，x ₁=0，x ₂=-

2

3 ，

故当a＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

3 ），（0，+∞）

单调递减区间是（-

2

3 ，0）

当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（-∞，-

2

3 ），（0，+∞）

单调递增区间是（-

2

3 ，0）（6分）

（2）当a=b=1时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

3 ），（0，+∞），

单调递减区间是（-

2

3 ，0）

故当x=-

2

3 时，f（x）取极大值为f（-

2

3 ）=-

8

27 +

4

9 +c，

当x=0时，f（x）的极小值为f（0）=c

要使函数y=f（x）与直线y=2的图象有两个不同的交点，则必须满足-

8

27 +

4

9 +c=2或c=2

故c=

50

27 或2．（6分）