原问题等价于求方程:
x^2+1=y^3和x^2-1=y^3
在整数域内的整数解.
当:x^2+1=y^3时:
有:
(x+i)(x-i)=y^3
因x+i,x-i∈Z[i].
于是问题等价于在Z[i]上求方程的解.
考虑(x+i,x-i)=(2x,2i)=d
故d|2i.若d=2或2i,则：
(x+i)/2i∈Z[i]这是不可能的.故d=1或i.
可以考虑d=1.则：
x+i=(a+bi)^3,(x-i)=(a-bi)^3
得：2i=2bi(3a^3-b^2).
解得a=0,b=-1.
故有唯一
x=0,y=1.
当x^-1=y^3时：
有：
(x-1)(x+1)=y^3.
类似于上述做法,令d=(x-1,x+1).
得d|2.若d=1,则x+1=m^3,x-1=n^3
则m>n,并且：m^3-n^3=2..(1)
显然上述方程在整数域上无解,因：
m>=n+1.有：
m^3-n^3>=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1>=6.
当n!=0,-1时,上述不等式在整数域上恒成立,故(1)无解.
所以d=2.
当d=2时：
令x=2m+1,y=2t
原方程变为：
m(m+1)=2t^3.
若2|m,令m=2s.
有s(2s+1)=t^3.
因(s,2s+1)=1.
故s=a^3,2s+1=b^3.
得：b>a,1=b^3-2a^3.(2)
1=|b^3-2a^3|,知满足右不等式的解b=1或-1 ,a=0或-1,
再结合(2),得：
b=1,a=0
于是有：
x=1,y=0.
若有2|m+1,令m=2s-1.
有：
(2s-1)s=t^3
得：
s=a^3,2s-1=b^3..(3)
1=2a^3-b^3
结合(3),解为:
a=1,b=1.或a=0,b=-1
故:
x=0,y=-1或x=3,y=2
于是满足x^2-1=y^3的解只有：
x=0,y=-1.x=1,y=0.x=3,y=2.
于是平方数与立方数相邻的数对只有：
(-1,0).(0,1).(8,9)除此外别无他例.