Question

如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意，易证DE⊥AE，从而可证DE⊥平面A1AEF，由面面垂直的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）利用三棱锥的轮换体积公式VF−A1ED=VD−A1FE即可求得点F到平面A1ED的距离．

证明：（Ⅰ）依题意知，△ABE为等边三角形，所以AE=AB=2，

在等腰三角形ECD中，EC=CD=2，∠ECD=120°，

∴由余弦定理可知，DE=2

3；

在△AED中，AD=4，AE=2，DE=2

3，AD²=AE²+DE²，

∴DE⊥AE；

又AA₁⊥底面ABCD，

∴AA₁⊥DE，又AA₁∩AE=A，

∴DE⊥平面A₁AEF，DE⊂平面A₁ED，

∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF；

（Ⅱ）设点F到平面A₁ED的距离为h，则VF−A1ED=[1/3]S△A1ED•h=[1/3]×[1/2]DE•A₁E•h=[1/3]×[1/2]×2

3×2

5•h；

又VD−A1FE=[1/3]S△A1FE•DE=[1/3]×[1/2]EF•A₁F•DE=[1/3]×[1/2]×4×2×2

3；

∵VF−A1ED=VD−A1FE，

∴[1/3]×[1/2]×2

3×2

5•h=[1/3]×[1/2]×4×2×2

3，

∴h=

4

5=

4

5

5．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题考查线面垂直的判定与平面与平面垂直的判定，考查点、线、面间的距离计算，考查推理与证明的能力，属于中档题．