Question

α,β,γ,θ∈(0,π/2),且α+β+γ+θ=π,求y=sinαsinβsinγsinθ最大值

Answer 1

因为α,β,γ,θ∈(0,π/2),所以

sinα>0,sinβ>0,sinγ>0,sinθ>0,

由基本不等式,可知：

(sinαsinβsinγsinθ)^(1/4)0,

又sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ[1-2(sinθ)^2]+2sinθ(cosθ)^2

=sinθ[3-4(sinθ)^2],

所以sinθ+1/2sin2θ+1/3sin3θ=sinθ+sinθcosθ+1/3sinθ[3-4(sinθ)^2]

=sinθ[1+cosθ+1-4/3(sinθ)^2]=1/3sinθ[2+3cosθ+4(cosθ)^2]

=1/3sinθ[(2cosθ+3/4)^2+23/16]>0.