已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω,它的离心率为[1/2],一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合,过直线l:x=4

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  • 解题思路:(Ⅰ)设椭圆方程为

    x

    2

    a

    2

    +

    y

    2

    b

    2

    =1,根据它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合,从而求出c值,再求出a和b的值,从而求解;

    (Ⅱ)切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),求出切线方程,再把点M代入切线方程,说明点A,B的坐标都适合方程x+

    t

    3

    y

    =1,而两点之间确定唯一的一条直线,从而求出定点;

    (I)设椭圆方程为

    x2

    a2+

    y2

    b2=1,

    抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),故c=1,又[c/a]=[1/2],

    所以a=2,b=

    a2−c2=

    3,

    所以所求的椭圆Ω方程为

    x2

    4+

    y2

    3=1.

    (II)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),

    直线l上一点M的坐标(4,t).

    则切线方程分别为

    x1x

    4+

    y1y

    3=1,

    x2x

    4+

    y2y

    3=1.

    又两切线均过点M,

    即x1+

    t

    3y1=1,x2+

    t

    3y2=1,

    即点A,B的坐标都适合方程x+[t/3]y=1,而两点之间确定唯一的一条直线,

    故直线AB的方程是x+[t/3]y=1,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,

    故直线AB恒过定点C(1,0).

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.

    考点点评: 此题主要考查利用导数研究函数的切线方程,考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力,是一道难题;