解题思路:(Ⅰ)设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,根据它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合,从而求出c值,再求出a和b的值,从而求解;
(Ⅱ)切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),求出切线方程,再把点M代入切线方程,说明点A,B的坐标都适合方程x+
t
3
y
=1,而两点之间确定唯一的一条直线,从而求出定点;
(I)设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2=1,
抛物线y2=-4x的焦点是(-1,0),故c=1,又[c/a]=[1/2],
所以a=2,b=
a2−c2=
3,
所以所求的椭圆Ω方程为
x2
4+
y2
3=1.
(II)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l上一点M的坐标(4,t).
则切线方程分别为
x1x
4+
y1y
3=1,
x2x
4+
y2y
3=1.
又两切线均过点M,
即x1+
t
3y1=1,x2+
t
3y2=1,
即点A,B的坐标都适合方程x+[t/3]y=1,而两点之间确定唯一的一条直线,
故直线AB的方程是x+[t/3]y=1,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,
故直线AB恒过定点C(1,0).
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
考点点评: 此题主要考查利用导数研究函数的切线方程,考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力,是一道难题;