解题思路：（1）求导数，确定函数的单调性，可得函数的极值；
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，由此可求a的取值；
（3）存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等价于h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax2+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，进而分类讨论，即可求得结论．
（1）当a=1时，f（x）=x3+x2-x，∴f′（x）=3x2+2x-1，
令f′（x）=0，则x1＝
1
3，x2=-1，…（2分）
x、f′（x）和f（x）的变化情况如下表
x （-∞，-1） -1 (−1，
1
3) [1/3] (
1
3，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值f（-1）=1 ↘ 极小值f(
1
3)＝−
5
27 ↗即函数的极大值为1，极小值为−
5
27；…（5分）
（2）f'（x）=3ax2+2x-a，
若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，
若a＜0，二次函数图象开口向下，不可能在[0，+∞）上单调递增；
若a=0，则f（x）=x2符合条件；
若a＞0，则由二次函数f'（x）=3ax2+2x-a的性质知
−
2
3a＜0
f(0)＝−a＞0，即
a＞0
a＜0，这也不可能，
综上可知，当且仅当a=0时，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；…（10分）
（3）由f'（x）=3ax2+2x-a，h(x)＝
1
3f′(x)+(2a+
1
3)x−
8
3a+1，
∴h（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），x∈（-1，b]，（b＞-1），
当-1＜x≤b时，令ax2+（2a+1）x+（1-3a）≥0，…①，
由a∈（-∞，-1]，∴h（x）的图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，…（11分）
又h（-1）=-4a＞0，
∴不等式①恒成立的充要条
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，属于中档题．