第1题：当画出上面这个图估计证明就很简单了.∵$S_（△BCM）＝S_（△ABN）＝frac{1}{2}S_（四边形ABCD）$,
即$S_（△BMN）＋S_（△CMN）＝S_（△BMN）＋S_（△AMN）＝frac{1}{2}S_（四边形ABCD）$,
即$S_（△CMN）＝S_（△AMN）$,∴MN‖AC（看来是MN平分一条对角线BD,平行另一条对角线AC）.
过点D作PQ‖AC,交BA的延长线于点P,交BC的延长线于点Q,则PQ‖AC‖MN,
∴$S_（△BCM）＝S_（四边形ADCM）＝S_（△ADC）＋S_（△ACM）＝S_（△PAC）＋S_（△ACM）＝S_（△PCM）$,
PM＝BM,同理BN＝CQ（这个同理不写也已得出MN是△BPQ的中位线）,即MN是△BPQ的中位线,设BD交MN于点H,则BH＝HD.
第3题证明：$frac{a－bc}{a＋bc}＋frac{b－ca}{b＋ca}＋frac{c－ab}{c＋ab}≤frac{3}{2}$,
等价于$frac{（a＋bc）－2bc}{a＋bc}＋frac{（b＋ca）－2ca}{b＋ca}＋frac{（c＋ab）－2ab}{c＋ab}≤frac{3}{2}$,
等价于$1－frac{2bc}{a＋bc}＋1－frac{2ca}{b＋ca}＋1－frac{2ab}{c＋ab}≤frac{3}{2}$,
等价于$frac{2bc}{a＋bc}＋frac{2ca}{b＋ca}＋frac{2ab}{c＋ab}≥frac{3}{2}$,
等价于$frac{2bc}{1－b－c＋bc}＋frac{2ca}{1－c－a＋ca}＋frac{2ab}{1－a－b＋ab}≥frac{3}{2}$,
等价于$frac{2bc}{(1－b)(1－c)}＋frac{2ca}{(1－c)(1－a)}＋frac{2ab}{(1－a)(1－b)}≥frac{3}{2}$,
等价于$4bc(1－a)＋4ca(1－b)＋4ab(1－c)≥3(1－a)(1－b)(1－c)$,
等价于$(4bc－4abc)＋(4ac－4abc)＋(4ab－4abc)≥3－3a－3b－3c＋3ab＋3bc＋3ca－3abc$,
等价于$bc＋ac＋ab≥9abc$,
等价于$frac{bc＋ac＋ab}{abc}≥9$,
等价于$frac{1}{a}＋frac{1}{b}＋frac{1}{c}≥9$,
等价于$frac{1}{frac{1}{a}＋frac{1}{b}＋frac{1}{c}}≤frac{1}{9}$,
等价于$frac{3}{frac{1}{a}＋frac{1}{b}＋frac{1}{c}}≤frac{1}{3}＝frac{a＋b＋c}{3}$,
而此即HM≤AM,（Harmonic mean调和平均≤Arithmetic mean算术平均）,当且仅当$a＝b＝c＝frac{1}{3}$时取等号.
注：HM≤GM≤AM≤QM
Harmonic mean调和平均：$HM＝frac{n}{frac{1}{x_1}＋frac{1}{x_2}＋……＋frac{1}{x_n}}$,
Geometric mean几何平均：$GM＝^nsqrt{x_1x_2……x_n}$,
Arithmetic mean算术平均：$AM＝frac{x_1＋x_2＋……＋x_n}{n}$,
Quadratic mean平方平均：$QM＝sqrt{frac{x_1^2＋x_2^2＋……＋x_n^2}{n}}$.