解题思路：通过图象过一点得到a、b、c一关系式，观察发现1≤f（1）≤1，又可的一关系式，再将b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤
1+
x
2
2
对一切实数x都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得．
∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤
1+x2
2对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=[1/2]，c=[1/2]-a．
∴f（x）=ax2+[1/2]x+[1/2]-a．
故x≤ax2+[1/2]x+[1/2]-a≤
1+x2
2对一切x∈R成立，
也即
ax2−
1
2x+
1
2−a≥0
(1−2a)x2−x+2a≥0 恒成立，
即
1
4−4a(
1
2−a)≤0
1−8a(1−2a)≤0
a＞0
1−2a＞0，
解得a=[1/4]．
∴c=[1/2]-a=
点评：
本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题考查了函数恒成立问题，以及二次函数的性质，赋值法（特殊值法）可以使问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法．