Question

一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图，M、N分别为A1B、B1C1的中点．下列结论中正确的个数有（　　）

Answer 1

解题思路：根据直线MN与A₁C是异面直线，可判定①错误；

连接AC₁，交A₁C于O，连接OM，证明MN∥OC₁，可证MN∥平面ACC₁A₁，③正确；

再证BC⊥平面ACC₁A₁，OC₁⊂平面ACC₁A₁，从而证明BC⊥OC₁，故MN⊥BC，②正确；

根据

V

N

−A

1

BC

=

V

A

1

−BCN

=[1/3]×[1/2]×a×a×a=[1/6]a³．可得④正确．

∵直线MN与A₁C是异面直线，∴①错误；

如图连接AC₁，交A₁C于O，连接OM，∵M、O分别是BA₁、CA₁的中点，

∴OM∥BC，OM=

1

2]BC，又BC∥B₁C₁，BC=B₁C₁，N为B₁C₁的中点，

∴OM∥NC₁，OM=NC₁，∴四边形OMNC₁为平行四边形，∴MN∥OC₁，

BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC₁A₁，OC₁⊂平面ACC₁A₁，∴BC⊥OC₁，

∴MN⊥BC，②正确；

又MN⊄平面ACC₁A₁，BC⊂平面ACC₁A₁，∴MN∥平面ACC₁A₁，③正确；

∵A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁C₁为三棱锥A₁-BCN的高，

∴VN−A1BC=VA1−BCN=[1/3]×[1/2]×a×a×a=[1/6]a³．∴④正确．

故选：B．

点评：

本题考点： 简单空间图形的三视图．

考点点评： 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定及棱锥的体积计算，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．