解题思路：（Ⅰ）当a=[1/4]时，f（x）=-[2/3
x
3
+
1
2
x
2
+3x，求导函数，确定函数的单调性，从而可确定函数的极值，进一步可得函数f（x）在[-2，2]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x2-4ax，求导函数，再考查h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a的对称轴为
x＝−
4−4a
8
＝
a−1
2]，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．
（Ⅰ）当a=
1
4]时，f（x）=-[2/3x3+
1
2x2+3x，f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，可得-1＜x＜
3
2]；令f′（x）＜0，可得x＜-1或x＞[3/2]
∴函数的单调增区间为（-1，[3/2]）；单调减区间为（-∞，-1），（[3/2]，+∞）
∴x=-1时，函数取得极小值为−
11
6，x=[3/2]时，函数取得极大值为[27/8]
∵f（-2）=[4/3]，f（2）=[8/3]
∴函数f（x）在[-2，2]上的最大值为[27/8]、最小值为−
11
6；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+2x2-4ax，g′（x）=
4x2+4(1−a)x+1−4a
x+1
在（-[1/2，+∞）上恒有x+1＞0
考查h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a的对称轴为x＝−
4−4a
8＝
a−1
2]（9分）
（i）当[a−1/2≥−
1
2]，即a≥0时，应有△=16（1-a）2-16（1-4a）≤0
解得：-2＜a≤0，所以a=0时成立（11分）
（ii）当[a−1/2＜−
1
2]，即a＜0时，应有h（−
1
2）＞0，即：1-4（1-a）×[1/2]+1-4a＞0，解得a＜0（13分）
综上：实数a的取值范围是a≤0（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查二次函数的单调性，综合性强．
1年前
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