Question

一道初三的几何题.在线解P为三角形ABC所在平面上一点,且角APB等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形

Answer 1

∵∠ABC=60度

∴∠ABP+∠CBP=60度

又∵∠ABP+∠PAB=60度

∴∠CBP=∠BAP

又∵∠APB=∠BPC

∴△APB∽△BPC

∴BP的平方=PA×PC

∴PB=2√3

（2）由∠BPA=120°,∠AB′C=60°,

∴A,P,C,B′四点共圆.

∴∠APB′=∠ACB′=60°,

∴∠APB+∠APB′=180°,

∴BPB′三点共线.

在PB′上取一点D,使得∠PCD=60°,

由∠CPB′=120°-60°=60°,

∴△PCD是等边三角形,得：PC=PD（1）,

在△APC和△B′DC中,

AC=B′C,由∠PCD=∠ACB′=60°,

∴∠ACP=∠B′CD,PC=DC,

∴△ACP≌△B′CD,得AP=DB′（2）

由（1）,（2)得：

BP+AP+CP=BB′