Question

已知如图，抛物线y=x2+（k2+1）x+k+1的对称轴是直线x=-1，且顶点在x轴上方．设M是直线x=-1左侧抛物线上

Answer 1

解题思路：（1）根据对称轴公式得到关于k的方程，解方程即可求解；

（2）先用x表示出M点的坐标，根据两点之间的距离公式得到MG，GH；再根据矩形的周长公式即可得到l关于x的函数解析式；

（3）先将l关于x的函数解析式配方，得到x的值，代入抛物线解析式即可得到使矩形MNHG的周长最小时点M的坐标．

（1）对称轴：x=-[b/2a]=-

k2+1

2=-1，

则k²+1=2，

解得k=±1，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴k+1＞0，

则k=1；

（2）由（1）得抛物线解析式为：y=x²+2x+2

∵M点的横坐标为x，M点在抛物线上，

∴M点的纵坐标为x²+2x+2，

MG=x²+2x+2，

又∵对称轴是直线x=-1

∴GH=|x|-|-1|

由题知，M是直线x=-1左侧，

∴GH=-x-1，

∴矩形MNHG的周长为l=2（GH+MG）=2（-x-1+x²+2x+2）=2（x²+x+1）；

（3）矩形MNHG的周长为l=2（x²+x+[1/4]-[1/4]+1）=2[（x+[1/2]）²+[3/4]]=2（x+[1/2]）²+[3/2]，

当x=-[1/2]时，矩形MNHG的周长为l有最小值[3/2]，此时点M的坐标为（-[1/2]，（-[1/2]）²+2×（-[1/2]）+2），即（-[1/2]，1[1/4]）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴公式，两点之间的距离公式，矩形的周长公式，配方法求最值问题，综合性较强，难度中等．