Question

在△ABC中，∠A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a2-2bccosA=（b+c）2

Answer 1

解题思路：（1）利用余弦定理表示出cosA，代入已知等式化简得到关系式，代入表示出的cosA中求出值，即可确定出A的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，再利用基本不等式求出b+c的最大值，即可确定出周长的范围．

（1）由余弦定理得：cosA=

b2+c2−a2

2bc，即b²+c²-a²=2bccosA，

代入已知等式得：a²-b²-c²+a²=b²+2bc+c²，即b²+c²-a²=-bc，

∴cosA=

b2+c2−a2

2bc=-[1/2]，

则∠A=120°；

（2）∵a=3，cosA=-[1/2]，

∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即9=b²+c²+bc=（b+c）²-bc≥（b+c）²-

(b+c)2

4=

3(b+c)2

4，

再由b+c＞a=3得到：3＜b+c≤2

3，

则△ABC周长a+b+c的范围为6＜a+b+c≤2

3+3．

点评：

本题考点： 余弦定理．

考点点评： 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．