Question

证明：正交阵的属于不同特征值的特征向量一定正交.

Answer 1

因为Q正交,Q^TQ=E,|Q|=1=λ1λ2……λn

设λ1,λ2为Q的两个不同的特征值,ξ1,ξ2为对应的特征向量

Qξ1=λ1ξ1 (1)

Qξ2=λ2ξ2

（ξ2)^T Q^T=λ2(ξ2)^T (2)

(2)*(1)

[ξ2,ξ1]=λ1λ2ξ2,ξ1]

(λ1λ2-1)[ξ2,ξ1]=0

而|λ1|=|λ2|=1,λ1≠λ2,得

[ξ2,ξ1]=0,

ξ2,ξ1正交