Question

8、过抛物线y= x2准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点分别为M,N,则直线MN过定点

Answer 1

计算了半天,果然定点就是焦点(0,1/2),和我判断一样

y=x2的准线为y=-1/2,设切点坐标为M(x0,x0^2),N(x1,x1^2)

设P(m,-1/2)为准线上任一点,则有直线PM的斜率等于M的切线斜率2x0,

所以PM方程为y+1/2=2x0(x-m),PM过点M,所以x0^2+1/2=2x0^2-2x0m

即x0^2=2mx0+1/2①

同理有x1^2=2mx1+1/2②,

①-②得x0+x1=2m

由两点式MN:(y-x0^2)/(x-x0)=(x0^2-x1^2)/(x0-x1)=x0+x1=2m

整理得MN方程为y=x0^2+2m(x-x0)=2mx0+1/2+2mx-2mx0=2mx+1/2

所以MN过定点(0,1/2)