I）证明：求导函数,可得f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna,
由于a＞1,∴lna＞0,当x＞0时,ax-1＞0,∴f'（x）＞0,故函数f（x）在（0,+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令f'（x）=2x+（ax-1）lna=0,得到x=0,f（x）,f'（x）的变化情况如下表：
x（-∞,0）0（0,+∞）f'（x）-0+f（x）递减极小值1递增
因为函数y=|f（x）-t|-1有三个零点,所以f（x）=t±1共有三个根,即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的直线y=t±1共有三个交点．
y=f（x）在（-∞,0）递减,在（0,+∞）递增,极小值f（0）=1也是最小值,当x→±∞时,f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1,∴f（x）=t+1有两个根,f（x）=t-1只有一个根．
∴t-1=fmin（x）=f（0）=1,∴t=2．（9分）
（Ⅲ）问题等价于f（x）在[-1,1]的最大值与最小值之差≤e-1．
由（Ⅱ）可知f（x）在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增,
∴f（x）的最小值为f（0）=1,最大值等于f（-1）,f（1）中较大的一个,
f(-1)=1/a+1+lna
,f（1）=a+1-lna,f(1)-f(-1)=a-
1a
-2lna,
记g(x)=x-
1x
-2lnx,（x≥1）,则g′(x)=1+
1x2
-
2x
=(
1x
-1)2≥0（仅在x=1时取等号）
∴g(x)=x-
1x
-2lnx是增函数,
∴当a＞1时,g(a)=a-
1a
-2lna＞g(1)=0,
即f（1）-f（-1）＞0,∴f（1）＞f（-1）,
于是f（x）的最大值为f（1）=a+1-lna,
故对∀x1,x2∈[-1,1],|f（x1）-f（x2）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna,∴a-lna≤e-1,
当x≥1时,(x-lnx)′=
x-1x
≥0,∴y=x-lnx在[1,+∞）单调递增,
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1＜a≤e．