Question

设f(x)是[a,b]上的可微函数,且其导函数有界,证明:f(x)是[a,b]上的绝对连续函数.急用

Answer 1

设︱f’(x) ︱≤M

则,对任意x,y∈[a,b]根据拉格朗日中值定理,有︱f(y) –f(x)︱≤M︱y-x︱

于是,对任给ε＞0,取δ=ε/ M,则当︱y-x︱＜ε/ M=δ时就有︱f(y) –f(x)︱≤M︱y-x︱＜M（ε/ M）=ε

由︱f(y) –f(x)︱≤ε

∴f(x)是[a,b]上的绝对连续函数,证毕