Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2013x+log2013x，则方程f（x）=0的实数根的个数是（

Answer 1

解题思路：首先，根据奇函数的性质，得到f（0）=0，然后，当x＞0时，在同一坐标系内画出函数y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，可以得到图象有一个交点，得到方程有一个实根，然后，根据对称性得到相应的方程的根的个数．

∵在R上的奇函数f（x），

∴f（0）=0，

∴x=0是方程f（x）=0的一个实根，

当x＞0时，f（x）=2013^x+log₂₀₁₃x=0，

∴-2013^x=log₂₀₁₃x，

设函数y=-2013^x y=log₂₀₁₃x，

在同一坐标系中作出它们的图象如下：

∴当x＞0时，该方程有一个实根，

又∵函数为奇函数，

∴它们的图象关于坐标原点对称，

∴当x＜0时，该方程也有一个实根，

总之，该方程有三个实根，

故选：C

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题综合考查了函数为奇函数及其性质，属于中档题，掌握数形结合思想在求解问题中的灵活运用．